Hoe om 'n vierkantswortel met die hand te bereken (met foto's)

2023 Outeur: Virginia Parson | [email protected]. Laas verander: 2023-08-03 16:48

In die dae voor sakrekenaars moes studente en professore vierkantswortels met die hand bereken. Verskeie verskillende metodes het ontwikkel om hierdie uitdagende proses aan te pak, sommige gee 'n growwe benadering, ander gee 'n presiese waarde. Om te leer hoe u die vierkantswortel van 'n getal kan vind met slegs eenvoudige bewerkings, sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom.

Stappe

Metode 1 van 2: Gebruik van Prime Factorization

Stap 1. Verdeel jou getal in perfekte vierkantige faktore

Hierdie metode gebruik die faktore van 'n getal om die vierkantswortel van 'n getal te vind (dit kan 'n presiese numeriese antwoord of 'n noue skatting wees, afhangende van die getal). 'N Getal se faktore is enige stel ander getalle wat saam vermenigvuldig om dit te maak. U kan byvoorbeeld sê dat die faktore van 8 2 en 4 is omdat 2 × 4 = 8. Volmaakte vierkante, aan die ander kant, heelgetalle is wat die produk is van ander heelgetalle. 25, 36 en 49 is byvoorbeeld perfekte vierkante omdat dit 5 is², 6², en 7², onderskeidelik. Volmaakte vierkantfaktore is, soos u al vermoed het, faktore wat ook perfekte vierkante is. Om 'n vierkantswortel te vind deur middel van primfaktorisering, probeer eers om u getal in sy perfekte vierkantfaktore te verminder.

• Kom ons gebruik 'n voorbeeld. Ons wil die vierkantswortel van 400 met die hand vind. Om mee te begin, verdeel ons die getal in perfekte vierkantige faktore. Aangesien 400 'n veelvoud van 100 is, weet ons dat dit eweredig deelbaar is met 25 - 'n perfekte vierkant. Vinnige verstandelike verdeling laat ons weet dat 25 16 keer in 400 gaan. 16 is toevallig ook 'n perfekte vierkant. Die perfekte vierkantfaktore van 400 is dus 25 en 16 want 25 × 16 = 400.
• Ons skryf dit as: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)

Stap 2. Neem die vierkantswortels van u perfekte vierkantfaktore

Die produk eienskap van vierkantswortels verklaar dat Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) vir enige gegewe getal a en b. As gevolg van hierdie eienskap, kan ons nou die vierkantswortels van ons perfekte vierkantfaktore neem en dit saam vermenigvuldig om ons antwoord te kry.

• In ons voorbeeld neem ons die vierkantswortels van 25 en 16. Neem hieronder:

  • Kwadraat (25 × 16)
  • Sqrt (25) × Sqrt (16)

  • 5 × 4 =

    Stap 20.

Stap 3. Verminder u antwoord tot die eenvoudigste terme, as u getal nie perfek is nie

In die werklikheid is die getalle waarvoor u vierkantswortels moet vind, nie altyd ronde getalle met duidelike volmaakte vierkantfaktore soos 400 nie. In hierdie gevalle is dit moontlik nie moontlik om die presiese antwoord as 'n heelgetal. Deur eerder die perfekte kwadraatfaktore te vind, kan u die antwoord vind in terme van 'n kleiner, eenvoudiger, makliker om te bestuur vierkantswortel. Om dit te doen, verminder u getal tot 'n kombinasie van perfekte vierkantfaktore en nie-perfekte vierkantfaktore, en vereenvoudig dit dan.

• Kom ons gebruik die vierkantswortel van 147 as 'n voorbeeld. 147 is nie die produk van twee perfekte vierkante nie, dus kan ons nie 'n presiese heelgetalwaarde soos hierbo kry nie. Dit is egter die produk van een perfekte vierkant en 'n ander getal - 49 en 3. Ons kan hierdie inligting gebruik om ons antwoord in die eenvoudigste terme soos volg te skryf:

  • Sqrt (147)
  • = Sqrt (49 × 3)
  • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  • = 7 × vierkante meter (3)

Stap 4. Skat, indien nodig

Met u vierkantswortel in die eenvoudigste terme, is dit gewoonlik redelik maklik om 'n ruwe skatting van 'n numeriese antwoord te kry deur die waarde van enige oorblywende vierkantswortels te raai en te vermenigvuldig. Een manier om u ramings te rig, is om die perfekte vierkante aan weerskante van die getal in u vierkantswortel te vind. U sal weet dat die desimale waarde van die getal in u vierkantswortel iewers tussen hierdie twee getalle is, sodat u tussen hulle kan raai.

• Kom ons keer terug na ons voorbeeld. Sedert 2² = 4 en 1² = 1, ons weet dat Sqrt (3) tussen 1 en 2 is - waarskynlik nader aan 2 as aan 1. Ons sal 1,7 skat. 7 × 1,7 = 11.9 As ons ons werk in 'n sakrekenaar nagaan, kan ons sien dat ons redelik naby is aan die werklike antwoord van 12.13.

  • Dit werk ook vir groter getalle. Sqrt (35) kan byvoorbeeld na raming tussen 5 en 6 wees (waarskynlik baie naby 6). 5² = 25 en 6² = 36. 35 is tussen 25 en 36, dus sy vierkantswortel moet tussen 5 en 6. Aangesien 35 net een weg van 36 is, kan ons met vertroue sê dat die vierkantswortel net laer is as 6. Om met 'n sakrekenaar te kontroleer, gee vir ons 'n antwoord van ongeveer 5.92 - ons was reg.

Stap 5. Verminder u getal tot die laagste algemene faktore as 'n eerste stap

Dit is nie nodig om perfekte vierkantfaktore te vind as u die primêre faktore van 'n getal maklik kan bepaal nie (faktore wat ook priemgetalle is). Skryf u nommer neer in terme van die laagste algemene faktore. Soek dan ooreenstemmende pare priemgetalle onder u faktore. As u twee priemfaktore vind wat ooreenstem, verwyder albei hierdie getalle van die vierkantswortel en plaas een van hierdie getalle buite die vierkantswortel.

• As 'n voorbeeld, laat ons die vierkantswortel van 45 vind deur hierdie metode te gebruik. Ons weet dat 45 = 9 × 5 en ons weet dat 9 = 3 × 3. Ons kan dus ons vierkantswortel in terme van sy faktore soos volg skryf: Sqrt (3 × 3 × 5). Verwyder eenvoudig die 3's en plaas een 3 buite die vierkantswortel om u vierkantswortel in eenvoudigste terme te kry: (3) Sqrt (5).

  Van hier af is dit eenvoudig om te skat.

• As 'n laaste voorbeeldprobleem, laat ons probeer om die vierkantswortel van 88 te vind:

  • Sqrt (88)
  • = Sqrt (2 × 44)
  • = Sqrt (2 × 4 × 11)
  • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Ons het verskeie 2's in ons vierkantswortel. Aangesien 2 'n priemgetal is, kan ons 'n paar verwyder en dit buite die vierkantswortel sit.

  • = Ons vierkantswortel in die eenvoudigste terme is (2) Sqrt (2 × 11) of (2) Sqrt (2) Sqrt (11).

    Van hier kan ons Sqrt (2) en Sqrt (11) skat en 'n benaderde antwoord vind as ons wil.

Metode 2 van 2: Handmatig vind van vierkantswortels

Gebruik 'n lang divisie algoritme

Stap 1. Verdeel die getalle in pare

Hierdie metode gebruik 'n proses soortgelyk aan lang afdeling om 'n presiese vierkantswortel syfer-vir-syfer te vind. Alhoewel dit nie noodsaaklik is nie, vind u miskien die maklikste om hierdie proses uit te voer as u u werkruimte en u nommer visueel in werkbare stukke organiseer. Trek eers 'n vertikale lyn wat u werkarea in twee dele skei, en trek dan 'n korter horisontale lyn naby die bokant van die regterkant om die regte gedeelte in 'n klein boonste gedeelte en 'n groter onderste gedeelte te verdeel. Verdeel dan die syfers van u getal in pare, vanaf die desimale punt. Na aanleiding van hierdie reël word 79, 520, 789, 182.47897 byvoorbeeld "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Skryf u nommer bo in die linker spasie.

As voorbeeld, probeer om die vierkantswortel van 780.14 te bereken. Trek twee lyne om jou werkruimte soos hierbo te verdeel en skryf "7 80. 14" bo -aan die linker spasie. Dit is OK. dat die linkerkantste stuk 'n alleenstaande getal is, eerder as 'n paar getalle. U sal u antwoord (die vierkantswortel van 780.14.) Regs bo in die spasie skryf

Stap 2. Vind die grootste heelgetal n waarvan die vierkant kleiner is as of gelyk is aan die getal (of paar) links

Begin met die "stuk" links van u nommer, of dit nou 'n paar of 'n enkele nommer is. Vind die grootste perfekte vierkant wat minder as of gelyk is aan hierdie stuk, en neem dan die vierkantswortel van hierdie perfekte vierkant. Hierdie nommer is n. Skryf n in die spasie regs bo en skryf die vierkant van n in die regterkantste kwadrant.

• In ons voorbeeld is die "stuk" links die getal 7. Aangesien ons weet dat 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, kan ons sê dat n = 2 omdat dit die grootste heelgetal is waarvan die vierkant kleiner is as of gelyk is aan 7. Skryf 2 in die regter boonste kwadrant. Dit is die eerste syfer van ons antwoord. Skryf 4 (die vierkant van 2) in die regterkantste kwadrant neer. Hierdie nommer sal in die volgende stap belangrik wees.

Stap 3. Trek die getal wat u so pas bereken het, van die linkerkantste paar af

Soos met lang deling, is die volgende stap om die vierkant wat ons pas gevind het, af te trek van die stuk wat ons nou ontleed het. Skryf hierdie getal onder die eerste stuk en trek af, en skryf u antwoord daaronder.

• In ons voorbeeld skryf ons 4 onder 7 en trek dan af. Dit gee ons 'n antwoord van

  Stap 3..

Stap 4. Laat val die volgende paar

Beweeg die volgende "stuk" in die getal waarvan u die vierkantswortel oplos, langs die afgetrekte waarde wat u pas gevind het. Vermenigvuldig dan die getal in die regter boonste kwadrant met twee en skryf dit in die onderste regterkantse kwadrant. Benewens die nommer wat u so pas neergeskryf het, moet u ruimte opsy sit vir 'n vermenigvuldigingsprobleem wat u in die volgende stap sal doen deur '"_ × _ ="' te skryf.

• In ons voorbeeld is die volgende paar in ons nommer '80'. Skryf "80" langs die 3 in die linker kwadrant. Vermenigvuldig dan die getal regs bo met twee. Hierdie getal is 2, dus 2 × 2 = 4. Skryf "'4"' in die regterkantste kwadrant, gevolg deur _×_=.

Stap 5. Vul die leë spasies in die regte kwadrant in

U moet elke leë spasie wat u pas in die regte kwadrant geskryf het, vul met dieselfde heelgetal. Hierdie heelgetal moet die grootste heelgetal wees waarmee die resultaat van die vermenigvuldigingsprobleem in die regterkwadrant laer as of gelyk aan die huidige getal aan die linkerkant kan wees.

In ons voorbeeld gee ons 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 deur die leë spasies met 8 in te vul. Dit is dus groter as 380. Daarom is 8 te groot, maar 7 sal waarskynlik werk. Skryf 7 in die leë spasies en los op: 4 (7) × 7 = 329. 7 kontroleer omdat 329 minder as 380 is. Skryf 7 in die regter boonste kwadrant. Dit is die tweede syfer in die vierkantswortel van 780.14

Stap 6. Trek die getal wat u pas bereken het af van die huidige getal aan die linkerkant

Gaan voort met die langkettingstylketting van aftrekking. Neem die resultaat van die vermenigvuldigingsprobleem in die regterkwadrant en trek dit af van die huidige getal aan die linkerkant, en skryf u antwoord hieronder.

• In ons voorbeeld sou ons 329 aftrek van 380, wat ons gee 51.

Stap 7. Herhaal stap 4

Laat val die volgende deel van die getal wat u die vierkantswortel vind. As u die desimale punt in u getal bereik, skryf 'n desimale punt in u antwoord in die regter boonste kwadrant. Vermenigvuldig dan die getal regs bo met 2 en skryf dit langs die leë vermenigvuldigingsprobleem ("_ × _") soos hierbo.

In ons voorbeeld, aangesien ons nou die desimale punt in 780.14 teëkom, skryf 'n desimale punt na ons huidige antwoord regs bo. Laat sak dan die volgende paar (14) in die linker kwadrant. Twee keer is die getal regs bo (27) 54, so skryf "54 _ × _ =" in die regterkantste kwadrant

Stap 8. Herhaal stap 5 en 6

Vind die grootste syfer om die spasies aan die regterkant in te vul wat 'n antwoord gee wat kleiner is as of gelyk is aan die huidige getal aan die linkerkant. Los dan die probleem op.

In ons voorbeeld is 549 × 9 = 4941, wat laer is as of gelyk is aan die getal aan die linkerkant (5114). 549 × 10 = 5490, wat te hoog is, dus 9 is ons antwoord. Skryf 9 as die volgende syfer in die regter boonste kwadrant en trek die resultaat van die vermenigvuldiging af van die getal links: 5114 minus 4941 is 173

Stap 9. Gaan voort met die berekening van syfers

Laat 'n paar nulle aan die linkerkant val en herhaal stap 4, 5 en 6. Vir meer akkuraatheid, herhaal hierdie proses om die honderdste, duisendste, ens. In u antwoord te vind. Gaan deur hierdie siklus totdat u die antwoord op die gewenste desimale plek kry.

Verstaan die proses

Stap 1. Beskou die getal waarvan u die vierkantswortel bereken as die oppervlakte S van 'n vierkant

Omdat die oppervlakte van 'n vierkant L is² waar L die lengte van een van sy sye is, probeer u dus die lengte L van die sykant van die vierkant deur die vierkantswortel van u getal te vind.

Stap 2. Spesifiseer letterveranderlikes vir elke syfer van u antwoord

Gee die veranderlike A as die eerste syfer van L (die vierkantswortel wat ons probeer bereken). B sal sy tweede syfer wees, C die derde, ensovoorts.

Stap 3. Spesifiseer letterveranderlikes vir elke "stuk" van u beginnommer

Ken die veranderlike S toe_ana die eerste paar syfers in S (u beginwaarde), S_b die tweede paar syfers, ens.

Stap 4. Verstaan die metode se verband met lang afdeling

Hierdie metode om 'n vierkantswortel te vind, is in wese 'n lang delingsprobleem wat u begingetal deur sy vierkantswortel verdeel en sy vierkantswortel as antwoord gee. Net soos in 'n lang delingsprobleem waarin u slegs deur die volgende een syfer op 'n slag belangstel, is u hier geïnteresseerd in die volgende twee syfers op 'n slag (wat ooreenstem met die volgende syfer op 'n slag vir die vierkantswortel).

Stap 5. Vind die grootste getal waarvan die vierkant kleiner is as of gelyk is aan S_a.

Die eerste syfer A in ons antwoord is dan die grootste heelgetal waar die vierkant nie S oorskry nie_a (wat A beteken dat A² ≤ Sa <(A+1) ²). In ons voorbeeld, S._a = 7, en 2² ≤ 7 <3², dus A = 2.

Let daarop dat as u byvoorbeeld 88962 deur 7 deur middel van 'n lang deling deur 7 wil deel, die eerste stap soortgelyk sou wees: u kyk na die eerste syfer van 88962 (8) en u wil die grootste syfer hê wat, vermenigvuldig met 7, is laer as of gelyk aan 8. In wese vind u d sodat 7 × d ≤ 8 <7 × (d+1). In hierdie geval sou d gelyk wees aan 1

Stap 6. Visualiseer die vierkant waarvan u die oppervlakte begin oplos

Jou antwoord, die vierkantswortel van jou begingetal, is L, wat die lengte van 'n vierkant met oppervlakte S beskryf (jou beginnommer). U waardes vir A, B, C verteenwoordig die syfers in die waarde L. 'n Ander manier om dit te sê, is dat vir 'n tweesyfer-antwoord 10A + B = L, terwyl dit vir 'n driesyfer-antwoord 100A + 10B + is C = L, ensovoorts.

• In ons voorbeeld, (10A+B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Onthou dat 10A+B ons antwoord L verteenwoordig met B in die eenheidsposisie en A in die tiene posisie. Byvoorbeeld, met A = 1 en B = 2, 10A+B is eenvoudig die getal 12. (10A+B) ² is die oppervlakte van die hele vierkant, terwyl 100A² die oppervlakte van die grootste vierkant binne, B² is die oppervlakte van die kleinste vierkant, en 10A × B is die oppervlakte van elk van die twee oorblywende reghoeke. Deur hierdie lang, ingewikkelde proses uit te voer, vind ons die oppervlakte van die hele vierkant deur die oppervlaktes van die vierkante en reghoeke daarin bymekaar te tel.

Stap 7. Trek A² af van S_a.

Laat een paar los (S._b) van syfers van S. S_a S_b is amper die totale oppervlakte van die vierkant, waarvan u die oppervlakte van die groter interne vierkant net afgetrek het. Die res kan die getal N1 wees, wat ons in stap 4 verkry het (N1 = 380 in ons voorbeeld). N1 is gelyk aan 2 × 10A × B + B² (oppervlakte van die twee reghoeke plus oppervlakte van die klein vierkant).

Stap 8. Soek N1 = 2 × 10A × B + B², ook geskryf as N1 = (2 × 10A + B) × B

In ons voorbeeld ken jy reeds N1 (380) en A (2), dus moet jy vind B. B is heel waarskynlik nie 'n heelgetal nie, dus moet jy eintlik die grootste heelgetal B vind sodat (2 × 10A + B) × B ≤ N1. U het dus: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)

Stap 9. Los op

Om hierdie vergelyking op te los, vermenigvuldig A met 2, skuif dit in die posisie van die tiene (wat gelykstaande is aan vermenigvuldiging met 10), plaas B in die posisie van die eenhede en vermenigvuldig die gevolglike getal met B. Met ander woorde, los (2 × 10A + B) × B. Dit is presies wat u doen as u "N_ × _ =" (met N = 2 × A) in stap regs onder in stap 4. In stap 5, vind u die grootste heelgetal B wat op die onderstreep pas sodat (2 × 10A + B) × B ≤ N1.

Stap 10. Trek die oppervlakte (2 × 10A + B) × B af van die totale oppervlakte

Dit gee u die oppervlakte S- (10A+B) ² waarvoor nog nie rekening gehou is nie (en wat gebruik sal word om die volgende syfers op soortgelyke wyse te bereken).

Stap 11. Om die volgende syfer C te bereken, herhaal die proses

Laat val die volgende paar (S._c) van S om N2 aan die linkerkant te kry, en soek die grootste C, sodat u (2 × 10 × (10A+B)+C) × C ≤ N2 (gelykstaande aan twee keer die tweesyfergetal "AB" skryf) gevolg deur "_ × _ =". Soek die grootste syfer wat in die spasies pas, wat 'n antwoord gee wat kleiner as of gelyk is aan N2, soos voorheen.

Video - Deur hierdie diens te gebruik, kan sommige inligting met YouTube gedeel word

Wenke

• In die voorbeeld kan 1,73 as '' res '' beskou word: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Hierdie metode werk vir enige basis, nie net in basis 10 (desimaal).
• Beweeg die desimale punt met 'n inkrement van twee syfers in 'n getal (faktor 100), beweeg die desimale punt met inkremente van een syfer in sy vierkantswortel (faktor 10).
• Stel gerus die berekening voor in elk geval waarmee u gemakliker is. Sommige mense skryf die resultaat bo die beginnommer.
• 'N Alternatiewe metode wat volgehoue breuke gebruik, kan die volgende formule volg: √z = √ (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Byvoorbeeld, om die vierkantswortel van 780.14 te bereken, is die heelgetal waarvan die vierkant die naaste aan 780.14 is 28, dus z = 780.14, x = 28 en y = -3.86. As u die skatting net x + y/(2x) inskakel en dit alreeds lewer (in die laagste terme) 78207/2800 of ongeveer 27.931 (1); die volgende kwartaal, 4374188/156607 of ongeveer 27.930986 (5). Elke term voeg byna 3 desimale akkuraatheid by die vorige.

Waarskuwings

• Maak seker dat u die syfers in pare van die desimale punt skei. Skei 79, 520, 789, 182.47897 as "79 52 07 89 18 2.4 78 97 "sal 'n nuttelose getal oplewer.

Sakrekenaar

Vierkantswortelrekenaar